專業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)合金鋼管
公司鋼管現(xiàn)貨資源量大、規(guī)格齊全、質(zhì)優(yōu)價(jià)低
公司鋼管現(xiàn)貨資源量大、規(guī)格齊全、質(zhì)優(yōu)價(jià)低
一、問(wèn)題的敘述
某合金鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將合金鋼管按照顧客的要求切割出售。從鋼管廠進(jìn)貨得到的原材料的鋼管的長(zhǎng)度都是1850mm ，現(xiàn)在一顧客需要15 根290 mm，28 根315 mm，21 根350 mm 和30 根455 mm 的鋼管。為了簡(jiǎn)化生產(chǎn)過(guò)程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過(guò)4 種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的1/10 增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的 2/10 增加費(fèi)用，以此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5 根產(chǎn)品），此外為了減少余料浪費(fèi)，每種切割模式下的余料浪費(fèi)不 能超過(guò)100 mm，為了使總費(fèi)用最小，應(yīng)該如何下料？
二、方案
本文以合金鋼管下料為背景，在盡量減少余料浪費(fèi)，簡(jiǎn)化生產(chǎn)過(guò)程等約束條件下，應(yīng)如何選取最優(yōu)切割方案使總費(fèi)用最小的問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)要的分析。首先通過(guò)提取問(wèn)題中的有用信息，即所使用的切割模式的種類不能超過(guò)4 種，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）等，可以列出一系列約束條件。由于切割模式使用頻率可以有兩種或兩種以上相同，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了一些簡(jiǎn)化假設(shè)，然后在這些假設(shè)下建立了數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了初步解答。
得出最優(yōu)切割方案為：
共需要19 根鋼管，其中 14 根原料鋼管分別切割90mm、315mm、350mm、455mm 鋼管為1 根，2 根，0 根， 2 根；4 根原料鋼管切割為0 根，0 根，5 根，0 根；1 根原料鋼管切割為2 根，0 根，1 根，2 根；最后對(duì)本文所建立的模型又進(jìn)行了較為全面的分析和評(píng)價(jià)，并指出了一些改進(jìn)的方向。
三、問(wèn)題重述
通過(guò)閱讀問(wèn)題題目可知，該問(wèn)題主要目的是要從一批長(zhǎng)度為1850mm 的原料鋼管中切割出15 根290mm，28 根315mm，21 根350mm 和30 根455mm 三種特定長(zhǎng) 數(shù)學(xué)建模論文 2 度的成品鋼管。合理的切割模式確定后，需要得出使切割總費(fèi)用最小的切割方案。問(wèn)題中的原料和成品長(zhǎng)度都有限定，切割費(fèi)用也與切割模式的使用頻率有關(guān)。其中約束條件主要有：
（1）原料鋼管長(zhǎng)度的約束，在不同切割模式下，成品的總長(zhǎng)度不能大于1850mm；
（2）切割產(chǎn)生的成品根數(shù)的約束，每根根鋼管最多生產(chǎn)5 根成品鋼管；
（3）切割后余料長(zhǎng)度的約束，每根鋼管在每種切割模式下的余料不能超過(guò) 100mm；
（4）切割模式種類的約束，最終使用的切割模式不能超過(guò)4 種；
（5）費(fèi)用的計(jì)算方式是與切割模式的使用頻率有關(guān)的。
四、模型假設(shè)
1、切割過(guò)程中不會(huì)產(chǎn)生報(bào)廢的情況；
2、切割過(guò)程中不會(huì)發(fā)生長(zhǎng)度的損失；
3、客戶的需求不發(fā)生變化；
4、切割費(fèi)用只與切割模式的使用頻率有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)；
5、假設(shè)不同的切割模式所使用的頻率不相同
五、符號(hào)說(shuō)明
符號(hào) 代表的意義 L 原料鋼管的總長(zhǎng)度，即 mm L 1850 表示第j 種成品鋼管的需求根數(shù)（ 4 , 3 , 2 , 1 i ） 表示第j 種成品鋼管的長(zhǎng)度 表示在第i 種切割模式下切割的原料鋼管的根數(shù)（i=1、2、3、4） 表示在第i 種切割模式下一根原料鋼管切割出的第j 種成品鋼管根數(shù) 用作下標(biāo)，代表切割模式， 用作下標(biāo)，表示成品類型， 表示一根原料鋼管的價(jià)值 表示不同使用頻率的切割模式下所需的費(fèi)用 P 切割總費(fèi)用
六、問(wèn)題分析與模型的建立
1、問(wèn)題分析
本題屬于一維整數(shù)數(shù)學(xué)規(guī)劃類問(wèn)題，解決的基本思路為：由一系列約束條件 確定不超過(guò)4 個(gè)合理的切割模式組成最優(yōu)切割方案，使總費(fèi)用最少。但是又考慮到切割費(fèi)用與切割模式的使用頻率有關(guān)，而不同切割模式的使用頻率可以相同。所以目標(biāo)函數(shù)是不確定的，即需要建立多種不同的模型，然后利 用lingo 軟件求出每種模型下的最優(yōu)解。最后通過(guò)將各個(gè)模型進(jìn)行對(duì)比，得出最有切割方案。
2、模型的建立
由于切割模式不多于4 種，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5 根產(chǎn)品），可以列出下列2 個(gè)約束條件：
（1）每根原料切割最多根數(shù)約束
�。�2）原料總長(zhǎng)度約束
由原料長(zhǎng)度，余料限制等條件可得以下幾個(gè)約束條件
�。�1）余料最大長(zhǎng)度約束
（2）客戶需求數(shù)量約束
綜合上述約束條件，可以得到以下數(shù)學(xué)模型： 即目標(biāo)函數(shù)： 利用lingo 軟件計(jì)算模型一（源程序和運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)附錄）結(jié)果如下表： 切割模式 鋼管數(shù) 290 315 350 455 余料 1 14 1 2 0 2 20 2 4 0 0 5 0 100 3 1 2 0 1 2 10 4 0 1 0 3 1 55 最優(yōu)解 21.5 由表可知：最優(yōu)方案為選取19 根鋼管，其中14 根原料鋼管分別切割90mm、 315mm、350mm、455mm 鋼管為1 根，2 根，0 根，2 根；4 根原料鋼管切割為 0 根，0 根，5 根，0 根；1 根原料鋼管切割為2 根，0 根，1 根，2 根。
七、模型的分析與改進(jìn)
1、模型優(yōu)點(diǎn)
（1）建模思路清晰，模型的建立方案比較簡(jiǎn)單，易于讀懂；
（2）模型結(jié)構(gòu)分明；
2、模型缺點(diǎn)
（1）沒(méi)有對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化和更深層次的推廣；
（2）各模型的源程序近乎相同，過(guò)程顯得有些繁瑣。
（3）模型在處理切割問(wèn)題時(shí)，為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)沒(méi)有考慮到多種切割模式使用頻率可能相同的情況。
（4）由于再假設(shè)中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，因此該模型不便于推廣。
3、模型的改進(jìn)方向
（1）處理切割問(wèn)題時(shí)，考慮多種切割模式使用頻率可能相同的情況。并通過(guò)改變目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，或者利用其他程序（如C 語(yǔ)言程序）來(lái)解決，其中通過(guò)改變目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的方法比較容易實(shí)現(xiàn)，并且各種不同情況下的源程序基本相同，只是過(guò)程稍顯繁瑣。
八、模型的評(píng)價(jià)
該模型盡管有很多不足之處，但是其基本思想是正確的，因此對(duì)于解決其他的一維數(shù)學(xué)規(guī)劃類問(wèn)題還是具有一定的參考價(jià)值的。